Turunan (Diferensial)

Definisi Turunan

Turunan dalam matematika itu sangat digunakan dalam berbagai ilmu, seperti dalam ilmu science itu sendiri. Konsep dari turunan itu sendiri sudah ditemukan sejak dahulu oleh orang yang bernama Sir Isaac Newton, seorang ahli matematika dan fisika dari Inggris. Turunan banyak membantu dalam menyelesaikan berbagai masalah dalam ilmu geometri dan mekanika. Turunan atau biasa disebut diferensial banyak di pakai pada ilmu fisika, biologi, kimia, geografi, ekonomi, dan masih banyak lagi. Pada jenjang SMA atau sederajat kita diajarkan hanya dasar-dasar dari cara menurunkan suatu fungsi. Apabila kita misalkan suatu fungsi f(x) diturunkan akan menjadi f '(x) atau apabila kita ibaratkan suatu fungsi adalah y maka turunannya adalah d y / d x

Dasar dari turunan sebenarnya berasal dari limit. Oleh karena itu, turunan dan limit itu memiliki hubungan yang erat sekali. Bisa kita lihat di bawah ini:

Berikut ini adalah tahap dasar untuk menurunkan suatu fungsi yang berpangkat adalah sebagai berikut: 

 f (x) =  x^a , maka turunannya  f '(x) = a x^{a - 1}  ................................................(1)

f (x) = n x^a  maka turunannya f '(x) = a n x^{a - 1} ...............................................(2)

Turunan/diferensiasi juga memiliki beberapa sifat, yaitu:

   1.  f (x) = a ± b , maka turunannya  f '(x) = a' ± b'
   2.  f (x) = a.b , maka turunannya  f '(x) = a'b + ab'
   3.  f (x) = a/b, maka turunannya  f '(x) = (a'b - ab')/b²

   4.  f (x) = f (u), maka turunannya f '(x) = f '(u) . u'

Selain dari sifat-sifat, turunan atau diferensial juga memiliki beberapa aturan yang mungkin salah satunya sudah saya sebutkan diatas. Bisa kita lihat di bawah ini beberapa aturan dari integral

1. Apabila f(x) = n, maka f '(x) = 0
2. Apabila f(x) = x, maka f ’(x) = 1
3. Aturan pangkat : Jika f(x) = xⁿ, maka turunanya f ’(x) = n x ^{n – 1}
4. Aturan kelipatan konstanta : (kf) (x), maka turunannya adalah k. f ’(x)
5. Aturan rantai : ( f o g ) (x), maka turunannya adalah f’ (g (x)). g’(x))

Daripada kalian bingung, kita langsung saja ke contohnya saja

1. Hitunglah turunan dari fungsi f (x) = x³

 Jawab :
Dari yang kita ketahui cara menurunkan/mendiferensiasikan suatu fungsi f  adalah seperti pada (1), maka tinggal kita terapkan saja.

f ‘(x) = 3 x^{3 - 1} = 3 x²

Maka turunannya dari fungsi tersebut adalah 3 x²

2. Hitunglah Turunan dari f (x) = 4x⁴ !
Jawab:
kalian hanya tinggal mengikuti cara (2)

f ‘(x) = 4.4.x^{4 – 1} = 16x³

Maka jawabannya adalah 16x³

3. Hitunglah turunan dari f (x) = x²y

Jawab:

Dapat kita gunakan sifat nomer 2, yaitu biar kalian gampang mengingatnya bisa dengan 'turunan kiri dikali dengan kanan ditambah dengan turunan kanan dikali dengan kiri'. Maka menjadi

f ‘(x) = 2x^{2 – 1}y + x²y^{1 – 1}

f ‘(x) = 2xy + x²

Maka jawabannnya adalah f ‘(x) = 2xy + x²

4. Hitunglah turunan dari 

Jawab:
Kita dapat menggunakan secara langsung sifat nomer 3, yaitu untuk gampang ingetnya 'turunan atas di kali bawah di kurang turunan bawah kali atas dibagi dengan bawah kuadrat'. Maka akan menjadi